Question

已知函數f(x)=sin

x

2

+2cos2

x

4

（1）求函數f（x）的最小正周期；
（2）在△ABC中，角A、B、C的分別是a、b、c，若（2a-c）cosB=bcosC，求f（A）的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把函數的第二項減1，利用二倍角的余弦函數公式化簡，然后利用兩角和的正弦函數公式及特殊角的三角函數值把f（x）化為一個角的正弦函數的形式，利用周期公式T=

2π

λ

即可求出函數的最小正周期；
（2）利用正弦定理化簡（2a-c）cosB=bcosC后，利用兩角和的正弦函數公式及三角形的內角和公式和誘導公式化簡可得cosB的值，根據cosB的值大于0和B的范圍即可求出B的度數，利用三角形的內角和定理即可求出A+C的度數得到A的范圍，然后根據A的范圍求出

A

2

+

π

4

的范圍，由正弦函數的圖象可知f（A）的范圍．

解答：解：（1）f(x)=sin

x

2

+(2cos2

x

4

-1)+1=sin

x

2

+cos

x

2

+1=

2

sin(

x

2

+

π

4

)+1（4分）
∴f（x）的最小正周期為T=4π；
（2）由（2a-c）cosB=bcosC得（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
∴2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，
∵sinA≠0，
∴cosB=

1

2

，得到B=

π

3

，
∴A+C=

2π

3

，
又∵f(A)=

2

sin(

A

2

+

π

4

)+1，
∴0＜A＜

2π

3

，
∴

π

4

＜

A

2

+

π

4

＜

7π

12

，
又∵sin

π

4

＜sin

7π

12

，
∴

2

2

＜sin(

A

2

+

π

4

)≤1，
∴2＜f(A)≤

2

+1．

點評：此題要求學生掌握正弦函數最小正周期的公式，靈活運用二倍角的余弦函數公式及兩角和的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化簡求值，掌握正弦函數的圖象，會根據角度的范圍求出正弦函數值的范圍，是一道綜合題．