Question

（2011•武漢模擬）在棱長為3的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，長為2的線段的一個端點M在棱DD₁上，另一個端點N在底面ABCD內(nèi)，則MN的中點P的軌跡是

以D為中心，半徑為1的球的

1

8

，它與有公共頂點D的正方體的三個面所圍成的幾何體的體積是

π

6

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，連接N點與D點，得到一個直角三角形△NMD，P為斜邊MN的中點，所以|PD|的長度不變，進(jìn)而得到點P的軌跡是球面的一部分，然后利用球的體積公式進(jìn)行求解．

解答：解：如圖可得，端點N在正方形ABCD內(nèi)運(yùn)動，連接N點與D點，由ND，DM，MN構(gòu)成一個直角三角形，
設(shè)P為MN的中點，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線長度為斜邊的一半可得DP=

1

2

MN=1，
不論△MDN如何變化，P點到D點的距離始終等于1．
∴MN的中點P的軌跡是
不論△MDN如何變化，P點到D點的距離始終等于1．
故P點的軌跡是一個以D為中心，半徑為1的球的

1

8

球面積．
體積為

1

8

×

4

3

π×13=

π

6

．
故答案為：以D為中心，半徑為1的球的

1

8

，

π

6

．

點評：本題主要考查點的軌跡方程的判斷，考查球的體積公式，綜合性較強(qiáng)．