Question

設實數x，y滿足不等式組

1≤x+y≤4 y+2≥|2x-3|

．
（1）作出點（x，y）所在的平面區域并求出x²+y²的取值范圍；
（2）設m＞-1，在（1）所求的區域內，求Q=y-mx的最值．

Answer 1

分析：（1）將不等式去絕對值化簡，即可作出如圖的四邊形DEFG及其內部，即為所求平面區域．再根據原點到點（x，y）的距離，算出x²+y²的最大最小值，即可得到x²+y²的取值范圍；
（2）作直線l：Q=y-mx并進行平移，觀察圖形可得：Q的最大值為7+3m；當-1＜k≤2時Q的最小值為-1-2m，當k＞2時Q的最小值為1-3m．

解答：解：（1）將不等式去絕對值，化簡為：

x+y≥1 x+y≤4 2x-y-5≤0 x≥ 3 2

或

x+y≥1 x+y≤4 2x+y-1≥0 x＜ 3 2

平面區域為如圖所示的四邊形DEFG及其內部，其中D（-3，7），E（0，1），F（2，-1），G（3，1）；
由圖可知，當動點（x，y）與點D（-3，7）重合時，
x²+y²達到最大值，最大值為OD²=9+49=58；
當動點（x，y）與原點在直線EF上的射影重合時，
x²+y²達到最小值，最小值為

1

2

∴x²+y²的取值范圍是[

1

2

，58]
（2）作直線l：Q=y-mx，則它的斜率k=m（k＞-1）
運動直線l，并觀察圖形可得：
①當-1＜k≤2即-1＜m≤2時
平移l到經過D點時，Q=y-mx值最大，Q_max=7+3m；
平移l到經過F點時，Q=y-mx值最小Q_min=-1-2m
②當k＞2，即m＞2時，
平移l到經過D點時，Q=y-mx值最大，Q_max=7+3m
平移l到經過G點時，Q=y-mx值最小Q_min=1-3m．

點評：本題給出二元一次不等式組，求作平面區域并求目標函數的最大最小值，著重考查了二元一次不等式組表示的平面區域和簡單的線性規劃等知識，屬于中檔題．