Question

已知函數f（x）=aln（2x+1）+bx+1．
（I）若函數y=f（x）在x=1處取得極值，且曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線與直線2x+y-3=0平行，求a的值；
（Ⅱ）若b=

1

2

，試討論函數y=f（x）的單調性．

Answer 1

分析：（I）先求函數的定義域，然后求出函數的導函數，根據導數的幾何意義和極值的定義建立方程組

f′(1)=0 f′(0)=-2

，解之即可；
（II）討論a的正負，然后在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，即可求出函數的單調區間．

解答：解：（Ⅰ）函數f（x）的定義域為(-

1

2

，+∞).f′(x)=

2bx+2a+b

2x+1

由題意

f′(1)=0 f′(0)=-2

，解得

a=- 3 2 b=1

∴a=-

3

2

．（5分）
（Ⅱ）若b=

1

2

，則f(x)=aln(2x+1)+

1

2

x+1.f′(x)=

2x+4a+1

4x+2

．
（1）令f′(x)=

2x+4a+1

4x+2

＞0，由函數定義域可知，4x+2＞0，所以2x+4a+1＞0
①當a≥0時，x∈(-

1

2

，+∞)，f'（x）＞0，函數f（x）單調遞增；
②當a＜0時，x∈(-2a-

1

2

，+∞)，f'（x）＞0，函數f（x）單調遞增；
（2）令f′(x)=

2x+4a+1

4x+2

＜0，即2x+4a+1＜0
①當a≥0時，不等式f'（x）＜0無解；
②當a＜0時，x∈(-

1

2

，-2a-

1

2

)，f'（x）＜0，函數f（x）單調遞減；
綜上：當a≥0時，函數f（x）在區間(-

1

2

，+∞)為增函數；
當a＜0時，函數f（x）在區間(-2a-

1

2

，+∞)為增函數；
在區間(-

1

2

，-2a-

1

2

)為減函數．（14分）

點評：本題主要考查了利用導數研究函數的極值，以及研究函數單調區間等有關基礎知識，考查運算求解能力、推理論證能力，考查化歸與轉化思想，屬于中檔題．