Question

【題目】如圖，已知平面四邊形中，為的中點，，，且.將此平面四邊形沿折成直二面角，連接、、.

（Ⅰ）證明：平面平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）通過證明，可得平面，進而可證明平面平面；

（Ⅱ）以為原點建立空間直角坐標系，求出平面的法向量為以及，通過向量的夾角公式可得直線與平面所成角的正弦值.

解：（Ⅰ）因為，，

所以直二面角的平面角為，

則平面，又平面，

所以，

又，

則

即，而，平面，平面，

故平面，因為平面，

所以平面平面；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，，則以為原點建立空間直角坐標系如圖所示，

則，，，，

，，設平面的法向量為，

則，

令，得平面的一個法向量，

又，

則得，

記直線與平面所成角為，則知，

故所求角的正弦值為.