Question

【題目】如圖，三棱柱中，側(cè)面，已知，，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值；

（3）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得與平面所成角的正弦值為，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）存在,或.

【解析】

（1）根據(jù)線面垂直的判定定理，即可證得平面.

（2）以為原點(diǎn)，分別以，和的方向?yàn)?/span>，和軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求得平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解；

（3）假設(shè)存在點(diǎn)，設(shè)，根據(jù)，得到的坐標(biāo)，結(jié)合平面的法向量為列出方程，即可求解.

（1）由題意，因?yàn)?/span>，，，∴，

又∴，∴，

∵側(cè)面，∴.

又∵，，平面

∴直線平面.

（2）以為原點(diǎn)，分別以，和的方向?yàn)?/span>，和軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則有，，，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為

，

∵，∴，令，則，∴

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，

∵，∴，令，則，∴，

，，，∴.

設(shè)二面角為，則.

∴設(shè)二面角的余弦值為.

（3）假設(shè)存在點(diǎn)，設(shè)，∵，，

∴，∴∴

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

∴，得.

即，∴或，∴或.