Question

（本小題滿分14分）
設數列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₁＝1，且a_n＋2S_nS_n－1＝0(n≥2)，
(1)求數列{S_n}的通項公式；
(2)設S_n＝，b_n＝f()＋1.記P_n＝S₁S₂＋S₂S₃＋…＋S_nS_n＋1，T_n＝b₁b₂＋b₂b₃＋…＋b_nb_n＋1，試求T_n，并證明P_n<.

Answer 1

(1)解：∵a_n＋2S_nS_n－1＝0(n≥2)，
∴S_n－S_n－1＋2S_nS_n－1＝0.　　　　　　　　　　---------3分
∴－＝2.又∵a₁＝1 ，               ---------------5分
∴S_n＝(n∈N_＋)．                   ---------------7分
(2)證明：∵S_n＝，∴f(n)＝2n－1.--------------------------8分
∴b_n＝2()－1＋1＝()^n－1.---------------------------------------9分
T_n＝()⁰·()¹＋()¹·()²＋…＋()^n－1·()ⁿ
＝()¹＋()³＋()⁵＋…＋()^2n－1
＝[1－()ⁿ]．-------------------------------------------------------11分

略