Question

【題目】已知函數(shù)，.

（Ⅰ）若函數(shù)是R上的增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（Ⅱ）討論函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（Ⅰ）. （Ⅱ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)題意可得，求出導(dǎo)函數(shù)，由題意可得恒成立，即恒成立，根據(jù)一元二次不等式式恒成立分類討論的取值范圍即可求解.

（Ⅱ）函數(shù)，令，求導(dǎo)得，分類討論：當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)的單調(diào)遞增，由，從而可得函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；當(dāng)時(shí)，設(shè)，求導(dǎo)可得在上遞增，由，討論的正負(fù)，從而可得的單調(diào)性，進(jìn)而可得到函數(shù)在的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

（Ⅰ），求導(dǎo)得

因?yàn)楹瘮?shù)是上的增函數(shù)，所以恒成立.

當(dāng)時(shí)，滿足題意.

當(dāng)時(shí)，由且，解得.

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.

（Ⅱ）函數(shù)，

令

求導(dǎo)得

（1）當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，

又，所以在上有且只有一個(gè)零點(diǎn).

（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)，

因?yàn)?/span>恒成立，所以在上遞增.

又

①當(dāng)，即時(shí)，恒成立，

所以在上單調(diào)遞增，又，

所以在上有且只有一個(gè)零點(diǎn).

②當(dāng)，即時(shí)，，

所以存在唯一實(shí)數(shù)使得.

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

又因?yàn)?/span>，所以

當(dāng)，即時(shí)，有且只有一個(gè)零點(diǎn)

當(dāng)，即時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn).

綜上：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).