Question

（本小題滿分14分）

已知一個四棱錐P－ABCD的三視圖如下，E是側棱PC上的動點。

（1）求四棱錐P－ABCD的體積；

（2）是否不論點E在何位置，都有BD⊥AE？證明你的結論;

（3）若點E為PC的中點，求二面角D－AE－B的大小．

Answer 1

（1）解：由該四棱錐的三視圖可知，該四棱錐P－ABCD的底面是邊長為1的正方形，

側棱PC⊥底面ABCD，且PC=2. ----------------------

-------2分

∴----------------------------4分

(2) 不論點E在何位置，都有BD⊥AE---------------------------------------5分

證明如下：連結AC，∵ABCD是正方形

∴BD⊥AC ∵PC⊥底面ABCD 且BD平面ABCD　∴BD⊥PC------7分

又∵∴BD⊥平面PAC　

∵不論點E在何位置，都有AE平面PAC 

∴不論點E在何位置，都有BD⊥AE ----------------------------10分

(3) 解法1：在平面DAE內過點D作DG⊥AE于G，連結BG

∵CD=CB,EC=EC, ∴Rt△ECD≌Rt△ECB

∴ED=EB, ∵AD=AB  ∴△EDA≌△EBA

∴BG⊥EA ∴∠DGB為二面角D－EA－B的平面角---------------12分

∵BC⊥DE,   AD∥BC  ∴AD⊥DE

在Rt△ADE中==BG

在△DGB中，由余弦定理得

∴∠DGB = …..14分

[解法２：以點C為坐標原點，CD所在的直線為ｘ軸建立空間直角坐標系如圖示：

則,從而 

設平面ADE和平面ABE的法向量分別為m=(a,b,c),n=

由法向量的性質可得：，

令，則，∴m=(1,0,1),n=(0,-1,-1) ------13分

設二面角D－AE－B的平面角為θ，則 , ∴