Question

已知函數.
（Ⅰ）若，求函數的極值，并指出是極大值還是極小值；
（Ⅱ）若，求證：在區間上，函數的圖像在函數的圖像的下方.

Answer 1

（Ⅰ）極小值；（Ⅱ）參考解析

試題分析：（Ⅰ）首先考慮定義域.再把代入求導.令導函數可求得極值點.再通過函數的單調性即可知道函數的極值.
（Ⅱ）由.在區間上，函數的圖像在函數的圖像的下方，可轉化為在區間上恒成立的問題.從而令函數F(x)=.通過求導即可求得F(x)函數的最大值.從而可得結論.
試題解析：（Ⅰ）解由于函數f(x)的定義域為(0，＋∞)，      1分
當a＝－1時，f′(x)＝x－        2分
令f′(x)＝0得x＝1或x＝－1(舍去)，     3分
當x∈(0,1)時，f′(x)<0， 因此函數f(x)在(0,1)上是單調遞減的，     4分
當x∈(1，＋∞)時，f′(x)>0，因此函數f(x)在(1，＋∞)上是單調遞增的，  5分
則x＝1是f(x)極小值點，
所以f(x)在x＝1處取得極小值為f(1)=            6分
（Ⅱ）證明     設F(x)＝f(x)－g(x)＝x²＋ln x－x³，
則F′(x)＝x＋－2x²＝，     9分
當x>1時，F′(x)<0，                         10分
故f(x)在區間[1，＋∞)上是單調遞減的，           11分
又F(1)＝－<0，        12分
∴在區間[1，＋∞)上，F(x)<0恒成立．即f(x)—g(x)<0恒成立
即f(x)<g(x)恒成立.
因此，
當a＝1時，在區間[1，＋∞)上，函數f(x)的圖像在函數g(x)圖像的下方．13分