Question

設P是曲線C₁上的任一點，Q是曲線C₂上的任一點，稱|PQ|的最小值為曲線C₁與曲線C₂的距離．
（1）求曲線C₁：y=e^x與直線C₂：y=x-1的距離；
（2）設曲線C₁：y=e^x與直線C₃：y=x-m（m∈R，m≥0）的距離為d₁，直線C₂：y=x-1與直線C₃：y=x-m的距離為d₂，求d₁+d₂的最小值．

Answer 1

（1）要求曲線C₁與直線C₂的距離，只需求曲線C₁上的點到直線y=x-1距離的最小值．
設曲線C₁上任意一點為P（x，e^x），則點P（x，e^x）到y=x-1的距離d=

|x-ex-1|

2

=

|ex-x+1|

2

．
令f（x）=e^x-x+1，則f'（x）=e^x-1，
由f'（x）=e^x-1=0，得x=0．
所以當x∈（0，+∞）時，f'（x）=e^x-1＞0
當x∈（-∞，0）時，f'（x）=e^x-1＜0．
故當x=0時，函數f（x）=e^x-x+1取極小值，也就是最小值為f（0）=2，
所以d=

|ex-x+1|

2

取最小值

2

，故曲線C₁與曲線C₂的距離為

2

；   
（2）由（1）可知，曲線C₁：y=e^x與直線C₃：y=x-m的距離d1=

|m+1|

2

，
由兩條平行線間的距離公式得直線C₂：y=x-1與直線C₃：y=x-m的距離d2=

|m-1|

2

，
則d1+d2=

|m+1|

2

+

|m-1|

2

=

1

2

(|m+1|+|m-1|)
≥

1

2

|m+1-m+1|=

2

，
所以d₁+d₂的最小值為

2

．