Question

（2008•虹口區二模）已知：-

π

2

＜α＜0，sinα+cosα=

1

5

，求：
（1）sinα-cosα 的值；
（2）3sin²

α

2

-2sin

α

2

cos

α

2

+cos²

α

2

 的值．

Answer 1

分析：（10根據sin²α+cos²α=1，得到（sinα+cosα）²-2sinα•cosα=1代入后運用完全平方公式化簡即可．
（2）利用二倍角公式化簡3sin²

α

2

-2sin

α

2

cos

α

2

+cos²

α

2

 為3sin²

α

2

-2sin

α

2

cos

α

2

+cos²

α

2

 的代入求出值．

解答：解：（1）∵sin²α+cos²α=1，
∴（sinα+cosα）²-2sinα•cosα=1，
∵sinα+cosα=

1

5

，
∴sinα•cosα=-

12

25

．
因為（sinα-cosα）²+2sinα•cosα=1
所以sinα-cosα=±

7

5

因為：-

π

2

＜α＜0，
所以sinα-cosα＜0
所以sinα-cosα=-

7

5

，
（2）3sin²

α

2

-2sin

α

2

cos

α

2

+cos²

α

2

 
=2sin²

α

2

-sinα+1
=2-（sinα+cosα）
3sin²

α

2

-2sin

α

2

cos

α

2

+cos²

α

2

 的=

9

5

點評：用到的知識點為：sin²α+cos²α=1；a²+b²=（a+b）²-2ab；及二倍角的余弦公式．