Question

已知關于x的不等式|3x-1|＜a有唯一的整數解，則方程（1-|2x-1|）a^x=1實數根的個數為（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

Answer 1

【答案】分析：先根據關于x的不等式|3x-1|＜a有唯一的整數解求出a的取值范圍，然后將方程（1-|2x-1|）a^x=1實數根的個數可轉化成y=1-|2x-1|與y=a^-x圖象的交點，結合圖形可得結論．
解答：解：當a≤0時，不等式|3x-1|＜a沒有整數解
當a＞0時，解得
在附近的整數有0與1，當包含1時有兩個整數，不合題意
∴不等式的整數解為0，則，
解得1＜a＜2
方程（1-|2x-1|）a^x=1實數根的個數可轉化成y=1-|2x-1|與y=a^-x圖象的交點
分別畫出函數y=1-|2x-1|與y=a^-x的圖象
根據可知有兩個交點，則方程（1-|2x-1|）a^x=1實數根有2個
故選C．
點評：本題主要考查了根的存在性及根的個數判斷，解決此類問題常常轉化成兩函數圖象的交點問題，同時考查了數形結合的思想，屬于中檔題．