Question

【題目】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長度為1千米．某炮位于坐標(biāo)原點．已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程y=kx﹣ （1+k2）x2（k＞0）表示的曲線上，其中k與發(fā)射方向有關(guān)．炮的射程是指炮彈落地點的橫坐標(biāo)．

（1）求炮的最大射程；
（2）設(shè)在第一象限有一飛行物（忽略其大小），其飛行高度為3.2千米，試問它的橫坐標(biāo)a不超過多少時，炮彈可以擊中它？請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：在 y=kx﹣ （1+k2）x2（k＞0）中，令y=0，得 kx﹣ （1+k2）x2=0．

由實際意義和題設(shè)條件知x＞0，k＞0．

∴ ，當(dāng)且僅當(dāng)k=1時取等號．

∴炮的最大射程是10千米．

（2）解：∵a＞0，∴炮彈可以擊中目標(biāo)等價于存在 k＞0，使ka﹣ （1+k2）a2=3.2成立，

即關(guān)于k的方程a2k2﹣20ak+a2+64=0有正根．

由韋達(dá)定理滿足兩根之和大于0，兩根之積大于0，

故只需△=400a2﹣4a2（a2+64）≥0得a≤6．

此時，k= ＞0．

∴當(dāng)a不超過6千米時，炮彈可以擊中目標(biāo)

【解析】（1）求炮的最大射程即求 y=kx﹣ （1+k2）x2（k＞0）與x軸的橫坐標(biāo)，求出后應(yīng)用基本不等式求解．（2）求炮彈擊中目標(biāo)時的橫坐標(biāo)的最大值，由一元二次方程根的判別式求解．