Question

【題目】已知函數(shù)f（x）＝xlnx，函數(shù)g（x）＝kx﹣cosx在點(diǎn)處的切線平行于x軸.

（1）求函數(shù)f（x）的極值；

（2）討論函數(shù)F（x）＝g（x）﹣f（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（1）極小值為f（），無極大值（2）F（x）有且僅有2個(gè)零點(diǎn)

【解析】

（1）利用函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后求出函數(shù)的極值；

（2）因?yàn)?/span>F（x）＝x﹣cosx﹣xlnx，F'（x）＝sinx﹣lnx，設(shè)h（x）＝sinx﹣lnx，分類討論：（i）當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，h（x）＝F'（x）≤0，則F（x）單調(diào)遞減，此時(shí)可得F（x）在（e，）上存在唯一零點(diǎn)，也即在（e，+∞）上存在唯一零點(diǎn)；（ii）當(dāng)x∈（，e]時(shí)，，則F'（x）在（，e]單調(diào)遞減，此時(shí)F（x）在（，e]上恒大于0，無零點(diǎn)；（iii）當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，，所以在（0，1）上單調(diào)遞減，此時(shí)F（x）在（，]上存在唯一零點(diǎn)，即F（x）在（0，]上存在唯一零點(diǎn)

解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）＝xlnx的定義域?yàn)椋?/span>0，+∞），

所以，

令，即lnx+1＜0，解得0＜x，

所以f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，），

令，即lnx+1＞0，解得，

所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（，+∞），

綜上，f（x）的極小值為f（），無極大值；

（2）由，得）＝k﹣1＝0，故k＝1，所以g（x）＝x﹣cosx，

因?yàn)?/span>F（x）＝x﹣cosx﹣xlnx，，

設(shè)h（x）＝sinx﹣lnx，

（i）當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，，則單調(diào)遞減，

又F（e）＝﹣cose＞0， ，

故F（x）在（e，）上存在唯一零點(diǎn)，也即在（e，+∞）上存在唯一零點(diǎn)；

（ii）當(dāng)x∈（，e]時(shí)， ，則在單調(diào)遞減，

因?yàn)?/span>，

所以存在，使得，且在上，在（x0，e]上，

所以為F（x）在（，e]上的最大值，

又因?yàn)?/span>F（e）＝﹣cose＞0，F（）（1﹣ln）＞0，

所以F（x）在（，e]上恒大于0，無零點(diǎn)；

（iii）當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，，

所以在（0，1）上單調(diào)遞減，

當(dāng)x∈[1，]時(shí)，，

設(shè)t（x）＝xcosx﹣1，所以，

所以t（x）在[1，]上單調(diào)遞減，

所以t（x）＜t（1）＝cos1﹣1＜0，即，

所以在（0，]上單調(diào)遞減，

因?yàn)?/span>，所以F（x）在上單調(diào)遞增，

因?yàn)?/span>F（）（1﹣ln）＞0，

，

所以F（x）在（，]上存在唯一零點(diǎn)，即F（x）在（0，]上存在唯一零點(diǎn)，

綜上，F（x）有且僅有2個(gè)零點(diǎn)