Question

【題目】已知橢圓與拋物線有共同的焦點，且離心率為，設分別是為橢圓的上下頂點

（1）求橢圓的方程；

（2）過點與軸不垂直的直線與橢圓交于不同的兩點，當弦的中點落在四邊形內（含邊界）時，求直線的斜率的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）或

【解析】

（1）由已知條件得到方程組，解得即可；

（2）由題意得直線的斜率存在，設直線方程為，聯立直線與橢圓方程，消元、列出韋達定理，由得到的范圍，設弦中點坐標為則，所以在軸上方，只需位于內（含邊界）就可以，即滿足，得到不等式組，解得即可；

解：（1）由已知橢圓右焦點坐標為，離心率為，，，

所以橢圓的標準方程為；

（2）由題意得直線的斜率存在，設直線方程為

聯立，消元整理得，，

由，解得

設弦中點坐標為，

所以在軸上方，只需位于內（含邊界）就可以，

即滿足，即，

解得或