Question

設函數f（x）=|x-a|-ax，其中0＜a＜1為常數
（1）解不等式f（x）＜0；
（2）試推斷函數f（x）是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）把f（x）的解析式代入到f（x）＜0得到一個不等式，當x小于等于0時得到不等式不成立；當x大于0時，對不等式的兩邊分別平方，移項后利用平方差公式分解因式，根據a大于0小于1 求出不等式的解集即可．
（2）函數可變為f（x）=

(1-a)x-a當x≥a時 -(1+a)x+a當x＜a時

，根據a的范圍，運用函數的單調性，得出答案．

解答：解：（1）不等式即為|x-a|＜ax，0＜a＜1，若x≤0，則ax≤0，故不等式不成立；
若x＞0，不等式化為（x-a）²＜a²x²，即[（1+a）x-a][（1-a）x-a]＜0，
由0＜a＜1可得，

a

1+a

＜x＜

a

1-a

，故不等式解集為{x|

a

1+a

＜x＜

a

1-a

}．
（2）由條件得：f（x）=

(1-a)x-a當x≥a時 -(1+a)x+a當x＜a時

，
∵1＞a＞0，
∴-（1+a）＜0，1-a＞0，故函數f（x）在（-∞，a）上是減函數，且在[a，+∞）上是增函數．
故當 x=a 時，f（x）存在最小值f（a）．

點評：此題考查了其他不等式的解法，分類討論的數學思想，本題還考查函數的最值及其幾何意義，解不等式，分類討論的思想，注意根據函數的形式判斷出函數中參數的取值范圍，是一道綜合題．