Question

【題目】已知函數， .

（1）若關于的不等式在上恒成立，求的取值范圍；

（2）設函數，若在上存在極值，求的取值范圍，并判斷極值的正負.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)答案見解析.

【解析】試題分析：（1）由題意可知 在上恒成立，構造新函數， ，求導根據函數的單調性及極值的判斷，即可求得在上單調遞增，即可求得的取值范圍；
（2） 若在上存在極值，則或，分類討論，分別構造新函數，根據導數與函數的關系，即可求得的取值范圍．

試題解析：（Ⅰ）由，得．即在上恒成立

設函數， ．則．

設．則．易知當時， ．

∴在上單調遞增，且．即對恒成立．

∴在上單調遞增．

∴當時， ．

∴，即的取值范圍是．

（Ⅱ）， ．

∴ ．

設，則．

由，得．

當時， ；當時， ．

∴在上單調遞增，在上單調遞減．

且， ， ．

顯然．

結合函數圖象可知，若在上存在極值，

則或．

（ⅰ）當，即時，

則必定，使得，且．

當變化時， ， ， 的變化情況如下表：

	-	0	+	0	-
	-	0	+	0	-
	↘	極小值	↗	極大值	↘

∴當時， 在上的極值為，且．

∵ ．

設，其中， ．

∵，∴在上單調遞增， ，當且僅當時取等號．

∵，∴．

∴當時， 在上的極值．

（ⅱ）當，即時，

則必定，使得．

易知在上單調遞增，在上單調遞減．

此時， 在上的極大值是，且．

∴當時， 在上的極值為正數．

綜上所述：當時， 在上存在極值，且極值都為正數．

注：也可由，得．令后再研究在上的極值問題．