Question

在平面直角坐標系xOy中，已知直線l：2

2

x-y+3+8

2

=0和圓C₁：x²+y²+8x+F=0．若直線l被圓C₁截得的弦長為2

3

．
（1）求圓C₁的方程；
（2）設(shè)圓C₁和x軸相交于A、B兩點，點P為圓C₁上不同于A、B的任意一點，直線PA、PB交y軸于M、N點．當點P變化時，以MN為直徑的圓C₂是否經(jīng)過圓C₁內(nèi)一定點？請證明你的結(jié)論；
（3）若△RST的頂點R在直線x=-1上，S、T在圓C₁上，且直線RS過圓心C₁，∠SRT=30°，求點R的縱坐標的范圍．

Answer 1

分析：（1）把圓的方程化為標準方程后，找出圓心坐標和半徑，利用點到直線的距離公式求出圓心到直線l的距離即為弦心距，然后根據(jù)垂徑定理及勾股定理利用圓的半徑及弦心距列出方程，即可求出F，得到圓的方程；
（2）先令圓方程中y=0分別求出點A和點B的坐標，可設(shè)出點P的坐標，分別表示出直線PA和PB的斜率，然后寫出直線PA和PB的方程，分別令直線方程中y=0求出M與N的坐標，因為MN為圓C₂的直徑，根據(jù)中點坐標公式即可求出圓心的坐標，根據(jù)兩點間的距離公式求出MN，得到圓的半徑為

1

2

MN，寫出圓C₂的方程，化簡后，令y=0求出圓C₂過一定點，再利用兩點間的距離公式判斷出此點在圓C₁的內(nèi)部，得證；
（3）設(shè)出R的坐標，作C₁F⊥RT于H，設(shè)C₁H=d，由題意可知d小于等于半徑2，根據(jù)在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一般，所以C₁R小于等于4，然后利用兩點間的距離公式表示出C₁R，列出不等式即可求出點R縱坐標的范圍．

解答：解：（1）圓C₁：（x+4）²+y²=16-F，
則圓心（-4，0）到直線2

2

x-y+3+8

2

=0的距離d=

|-8 2 +3+8 2 |

3

根據(jù)垂徑定理及勾股定理得：(

2 3

2

)2+（

-8 2 +3+8 2

3

）²=16-F，F(xiàn)=12
∴圓C₁的方程為（x+4）²+y²=4；
（2）令圓的方程（x+4）²+y²=4中y=0得到：x=-6，x=-2，則A（-6，0），B（-2，0）
設(shè)P（x₀，y₀）（y₀≠0），則（x₀+4）²+y₀²=4，得到（x₀+4）²-4=-y₀²①
∴k_PA=

y0

x0+6

則l_PA：y=

y0

x0+6

（x+6），M（0，

6y0

x0+6

）
∴則l_PB：y=

y0

x0+2

（x+2），N（0，

2y0

x0+2

）
圓C₂的方程為x²+（y-

6y0 x0+6 - 2y0 x0+2

2

）²=（

6y0 x0+6 - 2y0 x0+2

2

）²
完全平方式展開并合并得：x²+y²-2（

6y0 x0+6 - 2y0 x0+2

2

）y+

12y02

(x0+4)2-4

=0
將①代入化簡得x²+y²-2（

6y0 x0+6 - 2y0 x0+2

2

）y=0，
令y=0，得x=±2

3

，
又點Q（-2

3

，0），
由Q到圓C₁的圓心（-4，0）的距離d=

(4-2 3 )2+0

=4-2

3

＜2，則點Q在圓C₁內(nèi)，
所以當點P變化時，以MN為直徑的圓C₂經(jīng)過圓C₁內(nèi)一定點（-2

3

，0）；
（3）設(shè)R（-1，t），作C₁F⊥RT于H，設(shè)C₁H=d，
由于∠C₁RH=30°，∴RC₁=2d，
由題得d≤2，
∴RC₁≤4，即

9+t2

≤4，∴-

7

≤t≤

7

，
∴點A的縱坐標的范圍為[-

7

，

7

]

點評：本題考查學(xué)生靈活運用垂徑定理及勾股定理化簡求值，會根據(jù)直徑的兩個端點的坐標求出圓的方程以及掌握點與圓的位置關(guān)系的判別方法，靈活運用30°的直角三角形的邊的關(guān)系及兩點間的距離公式化簡求值，是一道比較難的題．