Question

（2012•黃浦區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=2sin2x+2

3

sinxcosx-1(x∈R)．
（1）試說明函數(shù)f（x）的圖象是由函數(shù)y=sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到的；
（2）若函數(shù)g（x）=

1

2

|f(x+

π

12

)| +

1

2

|f(x+

π

3

)|( x∈R)，試判斷函數(shù)g（x）的奇偶性，并用反證法證明函數(shù)g（x）的最小正周期是

π

4

；
（3）求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間和值域．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式及輔助角公式，化簡函數(shù)即可，再利用圖象變換規(guī)律可得變換方法；
（2）由（1）知，f（x）=sin（2x-

π

6

），從而可得g（x）=

1

2

|f(x+

π

12

)| +

1

2

|f(x+

π

3

)|=|sin2x|+|cos2x|，利用函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行證明，再用反證法證明T=

π

4

是函數(shù)g（x）的最小正周期；
（3）先求函數(shù)g（x）在一個(gè)周期[0，

π

4

]內(nèi)的單調(diào)區(qū)間和函數(shù)值的取值范圍；再依據(jù)周期函數(shù)的性質(zhì)，可得結(jié)論．

解答：解：（1）∵f（x）=2sin2x+2

3

sinxcosx-1=

3

sin2x-cos2x，
∴f（x）=2sin（2x-

π

6

）（x∈R）．
∴函數(shù)f（x）的圖象可由y=sinx的圖象按如下方式變換得到：
①將函數(shù)y=sinx的圖象向右平移

π

6

個(gè)單位，得到函數(shù)y=sin（x-

π

6

）的圖象；
②將函數(shù)y=sin（2x-

π

6

）的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的

1

2

倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=sin（2x-

π

6

）的圖象；
③將函數(shù)y=sin（2x-

π

6

）的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=2sin（2x-

π

6

）的圖象．
（2）由（1）知，f（x）=sin（2x-

π

6

），
∴g（x）=

1

2

|f(x+

π

12

)| +

1

2

|f(x+

π

3

)|=|sin2x|+|cos2x|．
又對任意x∈R，g（-x）=g（x），∴函數(shù)g（x）是偶函數(shù)．
∵g（x+

π

4

）=|cos2x|+|sin2x|=g（x），
∴g（x）是周期函數(shù)，T=

π

4

是它的一個(gè)周期．
現(xiàn)用反證法證明T=

π

4

是函數(shù)g（x）的最小正周期．
反證法：假設(shè)T=

π

4

不是函數(shù)g（x）的最小正周期，設(shè)T₁（0＜T₁＜

π

4

）是g（x）的最小正周期．
則g（x+T₁）=g（x），即|cos（2x+2T₁）|+|sin（2x+2T₁）|=|sin2x|+|cos2x|．
令x=0，得sin2T₁+cos2T₁=1，兩邊平方后化簡，得sin2T₁×cos2T₁=0，這與sin2T₁≠0且cos2T₁≠0，矛盾．因此，假設(shè)不成立．
所以，函數(shù)g（x）的最小正周期是

π

4

．
（3）先求函數(shù)g（x）在一個(gè)周期[0，

π

4

]內(nèi)的單調(diào)區(qū)間和函數(shù)值的取值范圍．
當(dāng)x∈[0，

π

4

]時(shí)，g（x）=sin2x+cos2x=

2

sin(2x+

π

4

），且

π

4

≤2x+

π

4

≤

3

4

π．
易知，此時(shí)函數(shù)g（x）的單調(diào)增區(qū)間是[0，

π

8

]，單調(diào)減區(qū)間是[

π

8

，

π

4

]；
函數(shù)的取值范圍是1≤g（x）≤

2

．
因此，依據(jù)周期函數(shù)的性質(zhì)，可知函數(shù)g（x）=|sin2x|+|cos2x|的單調(diào)增區(qū)間是[

kπ

4

，

kπ

4

+

π

8

]（k∈Z）；單調(diào)減區(qū)間是[

kπ

4

+

π

8

，

kπ

4

+

π

4

]（k∈Z）．
函數(shù)g（x）的值域是[1，

2

]．

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)的化簡，考查圖象的變換，考查函數(shù)的周期，考查反證法，考查函數(shù)的單調(diào)性與值域，綜合性強(qiáng)．