Question

設函數f（x）的定義域為D，若存在非零數l使得對于任意x∈M（M⊆D）有x+l∈D且f（x+l）≥f（x），則稱f（x）為M上的l高調函數．現給出下列命題：
①函數f（x）=(

1

2

)x為R上的1高調函數；
②函數f（x）=sin2x為R上的π高調函數
③如果定義域為[1，+∞）的函數f（x）=x²為[-1，+∞）上m高調函數，那么實數m的取值范圍是[2，+∞）其中正確的命題是

 

．（寫出所有正確命題的序號）

Answer 1

分析：函數f（x）=(

1

2

)x為R上的遞減函數，由正弦函數知函數f（x）=sin2x為R上的π高調函數，函數f（x）=x²為[-1，+∞）上m高調函數，只有[-1，1]上至少需要加2．

解答：解：∵函數f（x）=(

1

2

)x為R上的遞減函數，故①不正確，
∵sin2（x+π）≥sin2x
∴函數f（x）=sin2x為R上的π高調函數，故②正確，
∵如果定義域為[1，+∞）的函數f（x）=x²為[-1，+∞）上m高調函數，
只有[-1，1]上至少需要加2，
那么實數m的取值范圍是[2，+∞），故③正確，
故答案為：②③

點評：本題考查基本初等函數的性質，是一個特新定義問題，注意對于條件中所給的一個新的概念，要注意理解．