Question

給出下列命題：
①已知

a

⊥

b

，則

a

•(

b

+

c

)+

c•

(

b

-

a

)=

b

•

c

；
②A、B、M、N為空間四點，若

BA

，

BM

，

BN

不構(gòu)成空間的一個基底，則A、B、M、N共面；
③已知

a

⊥

b

，則

a

，

b

與任何向量不構(gòu)成空間的一個基底；
④已知{

a

，

b

，

c

}是空間的一個基底，則基向量

a

，

b

可以與向量

m

=

a

+

c

構(gòu)成空間另一個基底．
正確命題個數(shù)是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：對于①，由條件可得

a

•

b

=0，把等式的左邊展開化簡可得它和燈飾的右邊相等，故①正確．
對于②，由條件可得

BA

，

BM

，

BN

這3個向量共面，故A、B、M、N共面，故②正確．
對于③，若

c

 與

a

，

b

這3個向量不共面，則 {

a

，

b

 ，  

c

} 構(gòu)成空間的一個基底，故③不正確．
對于④，由條件可得

m

=

a

+

c

與

a

，

b

 這3個向量不共面，能構(gòu)成空間的另一個基底，故④正確．

解答：解：①若

a

⊥

b

，則

a

•

b

=0，故

a

•(

b

+

c

)+

c•

(

b

-

a

)=

a

•

b

+

a

•

c

+

c

•

b

-

c

•

a

=0+

c

•

b

=

b

•

c

，
故①正確．
②若

BA

，

BM

，

BN

不構(gòu)成空間的一個基底，則

BA

，

BM

，

BN

這3個向量共面，故A、B、M、N共面，
故②正確．
③當(dāng)

a

⊥

b

時，若

c

 與

a

，

b

這3個向量不共面，則 {

a

，

b

 ，  

c

} 構(gòu)成空間的一個基底，故③不正確．
④若{

a

，

b

，

c

}是空間的一個基底，設(shè)

m

=

a

+

c

，則

m

 與

a

，

b

 這3個向量不共面，
故{

a

，

b

， 

m

} 構(gòu)成空間的另一個基底，故④正確．
綜上，①②④正確，③不正確．
故選：C．

點評：本題主要考查空間向量基本定理及其意義，三個向量能構(gòu)成空間的基底的條件是，這三個向量不共面．