Question

用總長14.8m的鋼條制成一個長方體容器的框架，如果所制做容器的底面的一邊比另一邊長0.5m，那么高為多少時容器的容積最大？并求出它的最大容積．

Answer 1

解：設容器底面短邊長為xm，則另一邊長為（x+0.5）m，
高為
由3.2-2x＞0和x＞0，得0＜x＜1.6，
設容器的容積為ym³，則有y=x（x+0.5）（3.2-2x）（0＜x＜1.6）
整理，得y=-2x³+2.2x²+1.6x，
∴y'=-6x²+4.4x+1.6
令y'=0，有-6x²+4.4x+1.6=0，即15x²-11x-4=0，
解得x₁=1，（不合題意，舍去）．
從而，在定義域（0，1，6）內只有在x=1處使y'=0．
由題意，若x過小（接近0）或過大（接受1.6）時，y值很小（接近0），
因此，當x=1時y取得最大值，y_最大值=-2+2.2+1.6=1.8，這時，高為3.2-2×1=1.2．
答：容器的高為1.2m時容積最大，最大容積為1.8m³．
分析：先設容器底面短邊長為xm，利用長方體的體積公式求得其容積表達式，再利用導數研究它的單調性，進而得出此函數的最大值即可．
點評：本小題主要考查應用所學導數的知識、思想和方法解決實際問題的能力，建立函數式、解方程、不等式、最大值等基礎知識．