Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓x²+y²-12x+32=0的圓心為Q，過點(diǎn)P（0，2）且斜率為k的直線與圓Q相交于不同的兩點(diǎn)A，B．
（Ⅰ）求k的取值范圍；
（Ⅱ）是否存在常數(shù)k，使得向量

OA

+

OB

與

PQ

共線？如果存在，求k值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先把圓的方程整理成標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而求得圓心，設(shè)出直線方程代入圓方程整理后，根據(jù)判別式大于0求得k 的范圍，
（Ⅱ）A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根據(jù)（1）中的方程和韋達(dá)定理可求得x₁+x₂的表達(dá)式，根據(jù)直線方程可求得y₁+y₂的表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)以

OA

+

OB

與

PQ

共線可推知（x₁+x₂）=-3（y₁+y₂），進(jìn)而求得k，根據(jù)（1）k的范圍可知，k不符合題意．

解答：解：（Ⅰ）圓的方程可寫成（x-6）²+y²=4，所以圓心為Q（6，0），過P（0，2）
且斜率為k的直線方程為y=kx+2．
代入圓方程得x²+（kx+2）²-12x+32=0，
整理得（1+k²）x²+4（k-3）x+36=0． ①
直線與圓交于兩個不同的點(diǎn)A，B等價于△=[4（k-3）²]-4×36（1+k²）=4²（-8k²-6k）＞0，
解得-

3

4

＜k＜0，即k的取值范圍為(-

3

4

，0)．
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

OA

+

OB

=(x1+x2，y1+y2)，
由方程①，x1+x2=-

4(k-3)

1+k2

②
又y₁+y₂=k（x₁+x₂）+4． ③
而P(0，2)，Q(6，0)，

PQ

=(6，-2)．
所以

OA

+

OB

與

PQ

共線等價于（x₁+x₂）=-3（y₁+y₂），
將②③代入上式，解得k=-

3

4

．
由（Ⅰ）知k∈(-

3

4

，0)，故沒有符合題意的常數(shù)k．

點(diǎn)評：本題主要考查了直線與圓的方程的綜合運(yùn)用．常需要把直線方程與圓的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和判別式求得問題的解．