Question

（本小題12分）

已知函數(shù)f(x)=x－（2a+1）x+3a（a+2）x+，其中a為實(shí)數(shù)。

  （1）當(dāng)a=－1時(shí)，求函數(shù)y=f(x)在[0,6]上的最大值與最小值；

  （2）當(dāng)函數(shù)y=f(x)的圖像在（0,6）上與x軸有唯一的公共點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

 

（1）   -1

（2）實(shí)數(shù)a的取值范圍為－2<a≤0，或a=1，或2≤a<4

【解析】解： （1）當(dāng)a=－1時(shí)，有f(x)=x+x―3x+, f(x)= x+2x－3=0得x=1，x=－3，顯然在區(qū)間[0，6]上只有根x=1；                               --------3分

x	0	(0，1)	1	（1,6）	6
f（x）		－	0	＋
f(x)		↘	－1	↗	90

由上表可知：y=f(x)在[0,6]上的最大值為，最小值為－1；     --------6分

   （2）f(x)=x－2（2a+1）x+3a（a+2）=[x－（a+2）](x―3a)=0得x=a+2，x=3a

i、當(dāng)a=1，即x=x=3時(shí)，顯然滿足條件；                ---------7分

ii、當(dāng)?shù)脁≠x，

若x>x,a+2>3aa<1，進(jìn)而x<x<3, f(x)在（0,6）上有唯一根，可知

解得－2<a≤0

若x<xa+2<3aa>1,進(jìn)而x>x>3, f(x)在（0,6）有唯一根，知

解得2≤a<4                              

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為－2<a≤0，或a=1，或2≤a<4。  ---------12分