Question

A村在C村正北

3

km處，B地在C村正西16km處，已知弧形公路PQ上任一點到B、C兩點的距離之差為8km．
（1）如圖，以BC中點O為原點，建立坐標系，求弧形公路PQ所在曲線的方程；
（2）現要在公路旁建造一個變電站M分別向A村、C村送電，但A村有一村辦工廠用電需用專用線路，不得與民用混線用電，因此向A村要架兩條線路分別給村民和工廠送電．要使用電線最短，變電站M應建在A村的什么方位，并求出M到A村的距離．

Answer 1

分析：（1）以線段BC所在直線為x軸，其垂直平分線為y軸，建立直角坐標系．根據題意得PQ上任一點到B、C兩點的距離之差為8km，結合雙曲線的定義得出動點在以B，C為焦點，實軸長為8的雙曲線上，從而求得弧形公路PQ所在曲線的方程；
（2）依題意，即求2|MA|+|MC|的最小值．過A作AN垂直于右準線于N，設t=2|MA|+|MC|=2（|MA|+d）≥2|AN|，由平面幾何知識知，當M為AN與雙曲線交點時，t最小，從而解決問題．

解答：解：（1）（6分）以線段BC所在直線為x軸，其垂直平分線為y軸，建立直角坐標系．
∵PQ上任一點到B、C兩點的距離之差為8km
由雙曲線定義，PQ所在曲線為雙曲線的右支，
B、C為焦點，c=8，a=4
∴b²=c²-a²=64-16=48，…（4分）
∴所求方程為：

x2

16

-

y2

48

=1（x＞0）…（6分）（沒有范圍扣1分）
（2）（7分）依題意，即求2|MA|+|MC|的最小值…（1分）
由第二定義

|MC|

d

=e=

c

a

=

8

4

=2（d為M到右準線的距離）
∴|MC|=2d，過A作AN垂直于右準線于N，
設t=2|MA|+|MC|=2（|MA|+d）≥2|AN|．則當M為AN與雙曲線交點時，t最小…（3分）
∵A（8，

3

）∴yM=

3

，代入雙曲線方程，得xM=

17

，…（5分）
此時M在A的正西方向，|MA|=8-

17

∴應把電房建在A村正西方向距離A村8-

17

km處使得電線最短…（7分）

點評：考查圓錐曲線的實際背景及作用、考查學生根據實際問題選擇函數類型的能力，以及會用雙曲線的定義的方法來求函數的最小值的能力．