Question

如圖，在直四棱柱中，底面為平行四邊形，且，，，為的中點(diǎn).

（1） 證明：∥平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

（1）利用線線平行證明線面平行；（2）

試題分析：（1） 證明：連接，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013823092522.png" style="vertical-align:middle;" />，,所以∥,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013822920426.png" style="vertical-align:middle;" />面，面，所以∥面.
（2）作，分別令為
軸，軸，軸,建立坐標(biāo)系如圖
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013822842684.png" style="vertical-align:middle;" />，，所以，、

所以，，，，

設(shè)面的法向量為,所以，
化簡得，令，則.
設(shè)，則
設(shè)直線與面所成角為，則
所以，則直線與面所成角的正弦值為 .
點(diǎn)評：（1）線面關(guān)系的證明主要是應(yīng)用線面平行與垂直的判定定理或性質(zhì)，具體問題中要是能夠根據(jù)題意適當(dāng)做輔助線；（2）空間中角的計(jì)算，總是通過一定的手段將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)平面內(nèi)的角，并把它置于一個(gè)平面圖形，而且是一個(gè)三角形的內(nèi)角來解決，而這種轉(zhuǎn)化就是利用直線與平面的平行與垂直來實(shí)現(xiàn)的