Question

已知函數f（x）的定義域為[-1，5]，部分對應值如下表． x -1 0 2 4 5 f（x） 1 2 0 2 1 f（x）的導函數y=f′（x）的圖象如圖所示．下列關于函數f（x）的命題： ①函數f（x）在[0，1]上是減函數； ②如果當x∈[-1，t]時，f（x）最大值是2，那么t的最大值為4； ③函數y=f（x）-a有4個零點，則1≤a＜2； ④若f（x）在[-1，5]上的極小值為-2，且 y=t與f（x）有兩個交點，則-2＜t＜1． 其中真命題的個數是（　　）

A．4個

B．3個

C．2個

D．1個

Answer 1

分析：由函數f（x）的導函數圖象可知：函數f（x）在區間[-1，0]上單調遞增，在區間[0，1]上單調遞減，在區間[1，4]上單調遞增，在區間[4，5]上單調遞減．
再利用函數y=f（x）的對應值表格得出函數f（x）的大致圖象：
即可判斷出答案．

解答：解：由函數f（x）的導函數圖象可知：函數f（x）在區間[-1，0]上單調遞增，在區間[0，1]上單調遞減，在區間[1，4]上單調遞增，在區間[4，5]上單調遞減．
再利用函數y=f（x）的對應值表格得出函數f（x）的大致圖象：
①由函數f（x）的圖象可知：當x∈[0，1]時，函數f（x）在[0，1]上是減函數，正確；
②由導函數和函數f（x）的圖象可知：當x=0和x=4時，函數f（x）都取得極大值2，因此當x∈[-1，t]時，f（x）最大值是2，那么t的最大值可為5．故不正確；
③由函數y=f（x）的圖象可知：若函數y=f（x）-a有4個零點，則1≤a＜2，正確；
④若f（x）在[-1，5]上的極小值為-2，由函數y=f（x）的圖象可知：f（-1）=-2．若滿足 y=t與f（x）有兩個交點，則-2＜t＜1．或t=2．因此不正確．
綜上可知：只有①③正確．
故選C．

點評：熟練掌握利用導數研究函數的單調性、極值與最值、函數的零點等是解題的關鍵．