Question

（本小題滿分14分）

    設是坐標平面上的一列圓，它們的圓心都在軸的正半軸上，且都與直線相切，對每一個正整數,圓都與圓相互外切，以表示的半徑，已知為遞增數列．

    （1）證明：為等比數列；

    （2）設，求數列的前項和．

 

Answer 1

【答案】

 

（1）略

（2）Sn= – （n+）·

【解析】解：（Ⅰ）將直線y=x的傾斜角記為 ，

則有tan = ，sin =．…………．1分

設Cn的圓心為（，0），則由題意知= sin = ，

得 = 2 ；    ……… …………．3分

同理，依題意知   ………………5分

將 = 2代入，

解得 rn+1=3rn．

故{ rn }為公比q=3的等比數列．                  ………………7分

（Ⅱ）由于r1=1，q=3，故rn=3n-1，從而 =n·，………………9分

記Sn=，

則有 Sn=1+2·3-1+3·3-2+………+n·．   ①

=1·3-1+2·3-2+………+（n-1） ·+n·．  ②        ………………11分

①-②，得

=1+3-1 +3-2+………+-n·        ………………………12分

=- n·

= –（n+）·         ………………………………13分

Sn= – （n+）·．     ………………………………14分