Question

大學生自主創業已成為當代潮流。長江學院大三學生夏某今年一月初向銀行貸款20000元作開店資金，全部用作批發某種商品，銀行貸款的年利率為6%，約定一年后一次還清貸款。已知夏某每月月底獲得的利潤是該月月初投人資金的15%，每月月底需要交納個人所得稅為該月所獲利潤的20%，當月房租等其他開支1500元，余款作為資金全部投入批發該商品再經營，如此繼續，假定每月月底該商品能全部賣出。
（1）設夏某第個月月底余元，第個月月底余元，寫出的值并建立與的遞推關系式；
（2）預計年底夏某還清銀行貸款后的純收入。（參考數據：1.12¹¹≈3.48，1.12¹²≈3.90，0.12¹¹≈7.43×10^﹣11，0.12¹²≈8.92×10^﹣12）

Answer 1

（1）a_n+1=1.12a_n﹣1500（n∈N₊，1≤n≤11）（2）20532元

試題分析：（1）根據夏某每月月底獲得的利潤是該月月初投人資金的15%，每月月底需要交納個人所得稅為該月所獲利潤的20%，當月房租等其他開支1500元，可求a₁的值并建立a_n+1與a_n的遞推關系；
（2）構造{a_n-12500}是以20900為首項，1.12為公比的等比數列，即可求得結論．
試題解析：（1）由題意a₁=20000（1+15%）﹣20000×15%×20%﹣1500=20900（元）
a_n+1=a_n（1+15%）﹣a_n×15%×20%﹣1500=1.12a_n﹣1500（n∈N₊，1≤n≤11）
（2）令a_n+1+λ=1.12（a_n+λ），則a_n+1=1.12a_n+0.12λ，∵a_n+1=1.12a_n﹣1500，∴λ=﹣12500
∴a_n+1﹣12500=1.12（a_n﹣12500），∴{a_n﹣12500}是以20900為首項，1.12為公比的等比數列
∴a_n﹣12500=（20900﹣12500）×1.12^n﹣1，即a_n=8400×1.12^n﹣1+12500
∴a₁₂=8400×1.12¹¹+12500≈41732（元） 又年底償還銀行本利總計20000（1+6%）=21200（元）
故該生還清銀行貸款后純收入41732﹣21200=20532（元）