Question

(本題滿分15分) 如圖，橢圓C: x²＋3y²＝3b² (b＞0).
(Ⅰ) 求橢圓C的離心率；
(Ⅱ) 若b＝1，A，B是橢圓C上兩點，且| AB | ＝，求△AOB面積的最大值.

Answer 1

(Ⅰ)解：由x²＋3y²＝3b² 得，
所以e＝＝＝＝．                     
(Ⅱ)解：設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，△ABO的面積為S．
如果AB⊥x軸，由對稱性不妨記A的坐標為(，)，此時S＝＝；
如果AB不垂直于x軸，設直線AB的方程為y＝kx＋m，
由 得x²＋3(kx＋m) ²＝3，
即 (1＋3k²)x²＋6kmx＋3m²－3＝0，又Δ＝36k²m²－4(1＋3k²) (3m²－3)＞0，
所以  x₁＋x₂＝－，x₁x₂＝，
(x₁－x₂)²＝(x₁＋x₂)²－4 x₁x₂＝，  ①
由 | AB |＝及 | AB |＝得
(x₁－x₂)²＝，                          ②
結合①，②得m²＝(1＋3k²)－．又原點O到直線AB的距離為，
所以S＝，
因此S²＝＝[－]＝[－(－2)²＋１]
＝－(－2)²＋≤，
故S≤．當且僅當＝2，即k＝±1時上式取等號．又＞，故S _max＝．

解析