Question

【題目】已知函數（且）是定義在上的奇函數.

（Ⅰ）求實數的值；

（Ⅱ）判斷并用定義證明的單調性；

（Ⅲ）若，且成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；

（Ⅱ）當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞減；證明見解析；

（Ⅲ）．

【解析】

（Ⅰ）由題意，由奇函數的特征得，利用對數的運算性質求實數的值；

（Ⅱ）設，且，利用作差法用定義證明的單調性；

（Ⅲ）由可得的范圍，得函數的單調性，由利用奇偶性得，再根據單調性求實數的取值范圍．

解：（Ⅰ）由題意，

∵函數是定義在上的奇函數，

∴，即，

∴，即，

∴，又，∴；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

設，且，

則，

∵，∴，

∴，，∴，

∴當時，，即，在上單調遞增；

當時，，即，在上單調遞減；

綜上：當時，在上單調遞增；

當時，在上單調遞減；

（Ⅲ）由得，

∴，由（Ⅱ）知，在上單調遞減，

由利用奇偶性得，

∴，解得，

綜上：實數的取值范圍是．