Question

【題目】已知函數.

（1）若為的極值點，求的值；

（2）當時，方程有實數根，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1） ； （2）0 .

【解析】

（1）求導，由題意可知f′（2）=0，即可求得a的值；（2）由題意可知：﹣x2+x+ln（1﹣x）=，則b=t（lnt+t﹣t2）在（0，+∞）上有解，t=1﹣x，構造輔助函數，求導，根據導數與函數單調性及最值的關系，即可求得b的最大值．

（1），求導

由為的極值點，則，即，解得：，

當

從而為函數的極值點，成立，

∴；

(2)當時，方程，轉化成

即 ，令

則 在（0，+∞）上有解，

令

求導，

當0＜t＜1時，h′（t）＞0，故h（t）在（0，1）上單調遞增；

當t＞1時，h′（t）＜0，故h（t）在（1，+∞）單調遞減；

h（t）在（0，+∞）上的最大值為h（t）max=h（1）=0，

此時

當a=﹣1時，方程有實數根，求b的最大值0．