Question

已知拋物線：和：的焦點分別為，交于兩點（為坐標原點），且.
（1）求拋物線的方程；
（2）過點的直線交的下半部分于點，交的左半部分于點，點坐標為，求△面積的最小值.

Answer 1

（1）；（2）8.

試題分析：本題主要考查拋物線的標準方程及其幾何性質、向量垂直的充要條件、兩點間距離公式、三角形面積公式等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、轉化能力、計算能力.第一問，利用拋物線的標準方程得到焦點的坐標，從而得到向量坐標，聯立2個拋物線方程，解方程組，可求出A點坐標，從而得到向量的坐標，由于，所以，利用這個方程解出P的值，從而得到拋物線的方程；第二問，先設出過點O的直線方程，直線和拋物線聯立，得到M點坐標，直線和拋物線聯立得到N點坐標，由于，利用兩點間距離公式得到3個邊長，再利用基本不等式求面積的最小值.
試題解析：（1）由已知得：，，∴       1分
聯立解得或，即，，
∴                                     3分
∵，∴ ，即，解得，∴的方程為．                                     5分
『法二』設，有①，由題意知，，，∴                                          1分
∵，∴ ，有，
解得，                                           3分
將其代入①式解得，從而求得，
所以的方程為．                                 5分
（2）設過的直線方程為
聯立得，聯立得      7分
在直線上，設點到直線的距離為，點到直線的距離為
則                               8分


   10分       
當且僅當時，“”成立，即當過原點直線為時，11分
△面積取得最小值．                          12分

『法二』聯立得，
聯立得，                   7分
從而，
點到直線的距離，進而
                   9分
令，有，    11分
當，即時，
即當過原點直線為時，△面積取得最小值．                        12分