Question

已知定點F（1，0），動點P（異于原點）在y軸上運動，連接FP，過點P作PM交x軸于點M，并延長MP到點N，且，．
（1）求動點N的軌跡C的方程；
（2）若直線l與動點N的軌跡交于A、B兩點，若且，求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

解：（1）設動點N（x，y），則M（-x，0），P（0，）（x＞0），
∵PM⊥PF，∴k_PMk_PF=-1，即，
∴y²=4x（x＞0）即為所求．
（2）設直線l方程為y=kx+b，l與拋物線交于點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
則由，得x₁x₂+y₁y₂=-4，即 +y₁y₂=-4，∴y₁y₂=-8，
由可得 ky²-4y+4b=0（其中k≠0），∴y₁y₂==-8，b=-2k，
當△=16-16kb=16（1+2k²）＞0時，|AB|²=（1+）=•[-4y₁•y₂]=（+32）．
由題意，得16×6≤•≤16×30，解得 ，
∴≤k≤1，或-1≤k≤-．
即所求k的取值范圍是[-1，-]∪[ 1]．
分析：（1）設出動點N，則M，P的坐標可表示出，利用PM⊥PF，k_PMk_PF=-1，求得x和y的關系式，即N的軌跡方程．
（2）設出直線l的方程，A，B的坐標，根據，推斷出x₁x₂+y₁y₂=-4進而求得y₁y₂的值，把直線與拋物線方程聯立消去x求得y₁y₂的表達式，進而氣的b和k的關系式，利用弦長公式表示出|AB|²，根據|AB|的范圍，求得k的范圍．
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題，兩個向量的數量的運算，考查運用解析幾何的方法分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題．