Question

關于函數f(x)=lg

x2+1

|x|

(x≠0，x∈R)有下列命題：
①函數y=f（x）的圖象關于y軸對稱；
②在區間（-∞，0）上，函數y=f（x）是減函數；
③函數f（x）的最小值為lg2；
④在區間（1，∞）上，函數f（x）是增函數．
其中正確命題序號為

①③④

．

Answer 1

分析：函數f（x）為偶函數，圖象關于y軸對稱，再由函數t（x）=x+

1

x

   ，x＞0，的單調性可判其他命題．

解答：解：∵函數f(x)=lg

x2+1

|x|

(x≠0，x∈R)，顯然f（-x）=f（x），即函數f（x）為偶函數，圖象關于y軸對稱，
故①正確；當x＞0時，f(x)=lg

x2+1

|x|

=lg

x2+1

x

=lg(x+

1

x

)，令t（x）=x+

1

x

   ，x＞0，則t′（x）=1-

1

x2

可知當x∈（0，1）時，t′（x）＜0，t（x）單調遞減，當x∈（1，+∞）時，t′（x）＞0，t（x）單調遞增，
即在x=1處取到最小值為2．由偶函數的圖象關于y軸對稱及復合函數的單調性可知②錯誤，③正確，④正確．
故答案為：①③④．

點評：本題為函數的性質的應用，正確運用函數的性質及圖象的關系式解決問題的關鍵，屬基礎題．