Question

已知拋物線C的頂點在原點，焦點F在x軸正半軸上，設A、B是拋物線C上的兩個動點（AB不垂直于x軸），且|AF|+|BF|=8，線段AB的中垂線恒過定點Q（6，0），求此拋物線的方程．

Answer 1

分析：由拋物線的定義，知：|AF|+|BF|=x1+

p

2

+x2+

p

2

=x1+x2+p=8，所以x₁+x₂=8-p．由點Q（6，0）在線段AB的垂直平分線上，知|QA|=|QB|，由此能求出拋物線的方程．

解答：解：由拋物線的定義可得：|AF|+|BF|=x1+

p

2

+x2+

p

2

=x1+x2+p=8
∴x₁+x₂=8-p．
∵點Q（6，0）在線段AB的垂直平分線上，
∴|QA|=|QB|即：（x₁-6）²+y₁²=（x₂-6）²+y₂²，
又∵y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，
∴（x₁-6）²+2px₁=（x₂-6）²+2px₂，
整理得：（x₁-x₂）（x₁+x₂-12+2p）=0．
∵x₁≠x₂∴x₁+x₂-12+2p=0即：x₁+x₂=12-2p=8-p
解得：p=4，
∴拋物線的方程為y²=8x．

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．