Question

已知{a_n}是一個公差大于0的等差數列，且滿足a₃a₆=55，a₂+a₇=16．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式：
（Ⅱ）若數列{a_n}和數列{b_n}滿足等式：a_n=

b1

2

+

b2

22

+

b3

23

+…

bn

2n

（n為正整數），求數列{b_n}的前n項和S_n；
（Ⅲ）設T_n為數列{ns_n}的前n項和，求T_n．

Answer 1

分析：（1）設等差數列a_n的公差為d，則依題設d=2，a₁=1，從而能夠得到數列{an}的通項公式．
（2）令cn=

bn

2n

，則有a_n=c₁+c₂+…+c_n，a_n+1=c₁+c₂+…+c_n+1，從而得到a₁=1，a_n+1-a_n=2，由此能夠導出bn=

2   (n=1) 2n+1(n≥2)

，從而得到S_n=2ⁿ⁺²-6．
（3）先分別求出數列{n•2ⁿ⁺²}和數列{6n}的前n項和，二者相減即可得到數列{n•2ⁿ⁺²-6n}的前n項和．

解答：解：（1）解：設等差數列a_n的公差為d，則依題設d＞0
由a₂+a₇=16．得2a₁+7d=16①
由a₃•a₆=55，得（a₁+2d）（a₁+5d）=55②
由①得2a₁=16-7d將其代入②得（16-3d）（16+3d）=220．
即256-9d²=220
∴d²=4，又d＞0，∴d=2，代入①得a₁=1
∴a_n=1+（n-1）•2=2n-1
（2）令cn=

bn

2n

，則有a_n=c₁+c₂+…+c_n，a_n+1=c₁+c₂+…+c_n-+1（4分）
兩式相減得
a_n+1-a_n=c_n+1，由（1）得a₁=1，a_n+1-a_n=2
∴c_n+1=2，c_n=2（n≥2），即當n≥2時，b_n=2ⁿ⁺¹
又當n=1時，b₁=2a₁=2
∴bn=

2   (n=1) 2n+1(n≥2)

于是S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=2+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹
=2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹-4=

2(2n+1-1)

2-1

-4=2n+2即S_n=2ⁿ⁺²-6（9分）
（3）數列{n•2ⁿ⁺²}的前n項和為T₁=（n-1）•2ⁿ⁺³+8（12分）
數列{6n}的前n項和為T₂=3n²+3n（13分）
所以，數列{n•2ⁿ⁺²-6n}的前n項和為T₁-T₂=（n-1）•2ⁿ⁺³+8-3n²-3n（14分）

點評：本題考查數列的性質和應用，具有一定的難度，解題時要注意挖掘題設條件，合理解答．