Question

【題目】如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，AB=BC，AD是BC邊上的高，AE是⊙O的直徑．

（1）求證：ACBC=ADAE；
（2）過點C作⊙O的切線交BA的延長線于點F，若AF=3，CF=9，求AC的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖所示，連接BE

∵AE是⊙O的直徑，∴∠ABE=90°．

又∠E=∠ACB．

∵AD⊥BC，∠ADC=90°．

∴△ABE∽△ADC，∴ ，∴ABAC=ADAE．

又AB=BC，∴BCAC=ADAE．

（2）解：∵CF是⊙O的切線，∴CF2=AFBF，

∵AF=3，CF=9，∴92=3BF，解得BF=27．

∴AB=BF﹣AF=24．

∵∠ACF=∠FBC，∠CFB=∠AFC，∴△AFC∽△CFB，

∴ = ，∴AC= =8．

【解析】（1）如圖所示，連接BE．由于AE是⊙O的直徑，可得∠ABE=90°．利用∠E=∠ACB．進而得到△ABE∽△ADC，即可得到．（2）利用切割線定理可得CF2=AFBF，可得BF．再利用△AFC∽△CFB，可得 = ，即可得出．