Question

已知函數滿足且若對于任意的總有成立，則在內的可能值有（   ）個

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

B

試題分析：：∵0＜a≤1，∴f（2）=2f（1）=2a，
①   當0＜a≤1/4時，0＜2a≤1/2，0＜4a≤1，
∴f（3）=2f（2）=4a，
f（4）=2f（3）=8a，
此時f（4）=f（1）不成立；
②   當1/4＜a≤1/2時，1/2＜2a≤1，1＜4a≤2，
∴f（3）=2f（2）=4a，
f（4）=[f(3)-1]/f(3)=﹙4a-1﹚/4a，
此時f（4）=f（1）?﹙4a-1﹚/4a=a?a=1/2；
③   當1/2＜a≤1時，1＜2a≤2，2＜4a≤4，
∴f（3）=[f(2)-1]/f(2)=（2a-1)/2a≤1/2，
∴f（4）=2f（3）=（2a-1）/a，
此時f（4）=f（1）?（2a-1)/a=a?a=1；
綜上所述，當n=1時，有f（n+3）=f（n）成立時，
則a在（0，1]內的可能值有兩個．故選B。
點評：中檔題，本題綜合考查分段函數的概念、函數等式恒成立問題、方程式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查分類討論思想、化歸與轉化思想．是一道不錯的題目。