Question

【題目】設拋物線的焦點為，經過軸正半軸上點的直線交于不同的兩點和.

（1）若，求點的坐標；

（2）若，求證：原點總在以線段為直徑的圓的內部；

（3）若，且直線∥，與有且只有一個公共點，問：△的面積是否存在最小值？若存在，求出最小值，并求出點的坐標，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）存在，最小值2，.

【解析】

（1）由拋物線方程以及拋物線定義，根據求出橫坐標，代入，即可得出點的坐標；

（2）設，，設直線的方程是：，聯立直線與拋物線方程，根據韋達定理，以及向量數量積運算，得到，推出恒為鈍角，即可得結論成立；

（3）設，則，由得，推出直線的斜率．設直線的方程為，代入拋物線方程，根據判別式等于零，得．設，則，，由三角形面積公式，以及基本不等式，即可求出結果.

（1）由拋物線方程知，焦點是，準線方程為，

設，由及拋物線定義知，，代入得，

所以點的坐標或

（2）設，，

設直線的方程是：，

聯立，消去得：，由韋達定理得，

所以，

故恒為鈍角，

故原點總在以線段AB為直徑的圓的內部．

（3）設，則，

因為，則，由得，故．

故直線的斜率．

因為直線和直線平行，設直線的方程為，代入拋物線方程

得，由題意，得．

設，則，，

，

當且僅當，即時等號成立，

由得，解得或（舍），

所以點的坐標為，.