Question

已知函數f（x）=x²+bsinx-2（b∈R），F（x）=f（a）+2且對于任意實數x，恒有F（x）-F（-x）=0
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）已知函數g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx在區間（0，1）上單調遞減，求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）若關于x的方程

1

2

f(x)=4lnx-k在[1，e]上恰有兩個相異實根，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先表示出F（x）的表達式，再根據對任意實數x，恒有F（x）-F（-x）=0，我們可以求出b的值，進而可確定函數f（x）的解析式．
（Ⅱ）將（Ⅰ）中求出的函數f（x）的解析式代入函數g（x）然后求導，將問題轉化為g′（x）≤0在（0，1）上恒成立，再利用分離參數法，我們就可以求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）構造函數h(x)=4lnx-

1

2

f(x)-k=4lnx-

1

2

x2+1-k，可以得出h（x）在[1，2）上單調遞增，在[2，e]上單調遞減，為了使方程

1

2

f(x)=lnx-k在[1，e]上恰有兩個相異實根，只須h（x）=0在[1，2）和（2，e]上各有一個實根，可求k的范圍

解答：解：（Ⅰ）函數f（x）=x²+bsinx-2（b∈R），F（x）=f（x）+2
∴F（x）=x²+bsinx
依題意，對任意實數x，恒有F（x）-F（-x）=0
即x²-bsinx=x²+bsinx，
即2bsinx=0對于任意實數x都成立，
∴b=0
∴f（x）=x²-2．…（4分）
（Ⅱ）∵函數g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx，
∴g（x）=x²+2x+alnx，得g′(x)=2x+2+

a

x

 (x＞0)
∵函數g（x）在（0，1）上上單調遞減，
∴在區間（0，1）上，g′（x）≤0在（0，1）上恒成立．…（7分）
即2x²+2x+a≤0在（0，1）上恒成立．
∴a≤-（2x²+2x）在（0，1）上恒成立．
而u（x）=-（2x²+2x）在（0，1）上單調遞減
∴a≤-4．…（9分）
（Ⅲ）令h(x)=4lnx-

1

2

f(x)-k=4lnx-

1

2

x2+1-k，
∴h′(x)=

4

x

-x
令h′(x)=

4

x

-x=0，解得x=±2
∵x＞0，∴x=2
當0＜x＜2時，h′（x）＞0；當x＞2時，h′（x）＜0；
即h（x）在[1，2）上單調遞增，在[2，e]上單調遞減…（11分）
為了使方程

1

2

f(x)=lnx-k在[1，e]上恰有兩個相異實根，只須h（x）=0在[1，2）和（2，e]上各有一個實根，
于是有

h(1)≤0 h(2)＞0 h(e)≤0

，即

k≥ 1 2 k＜4ln2-1 k≥5- 1 2 e2

解得 5-

1

2

e2≤k＜4ln2-1
所以實數k的取值范圍是[5-

1

2

e2，4ln2-1)．…（14分）

點評：本題主要考查了利用奇函數的性質求函數的解析式，，函數的恒成立問題的求解常利用分離參數法解決，而函數的構造是求解本題的關鍵．