Question

本題設有（1）、（2）、（3）三個選考題，每題7分，請考生任選2題做答，滿分14分，如果多做，則按所做的前兩題計分，做答時，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑，并將所選題號填入括號中。

（1）（本小題滿分7分）選修4-2：矩陣與變換

設矩陣（其中a＞0，b＞0）．

（I）若a=2，b=3，求矩陣M的逆矩陣M^-1；

（II）若曲線C：x²+y²=1在矩陣M所對應的線性變換作用下得到曲線C’：，求a，b的值．

（2）（本小題滿分7分）選修4-4：坐標系與參數方程

在直接坐標系xOy中，直線l的方程為x-y+4=0，曲線C的參數方程為

．

（I）已知在極坐標（與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，點P的極坐標為（4，），判斷點P與直線l的位置關系；

（II）設點Q是曲線C上的一個動點，求它到直線l的距離的最小值．

（3）（本小題滿分7分）選修4-5：不等式選講

設不等式的解集為M．

（I）求集合M；

（II）若a，b∈M，試比較ab+1與a+b的大小．

Answer 1

（1）選修4—2：矩陣與變換

    本小題主要考查矩陣與交換等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想，滿分7分。

解：（I）設矩陣M的逆矩陣，則

又，所以，

所以

故所求的逆矩陣

（II）設曲線C上任意一點，

它在矩陣M所對應的線性變換作用下得到點，

則

又點在曲線上，

所以,,

則為曲線C的方程，

又已知曲線C的方程為

又

（2）選修4—4：坐標系與參數方程

本小題主要考查極坐標與直角坐標的互化、橢圓的參數方程等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想。滿分7分。

解：（I）把極坐標系下的點化為直角坐標，得P（0，4）。

因為點P的直角坐標（0，4）滿足直線的方程，

所以點P在直線上，

（II）因為點Q在曲線C上，故可設點Q的坐標為，

從而點Q到直線的距離為

，

由此得，當時，d取得最小值，且最小值為

（3）選修4—5：不等式選講

本小題主要考查絕對值不等式等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想，滿分7分。

解：（I）由

所以

（II）由（I）和，

所以

故