Question

四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，邊長(zhǎng)為a，PD=a，PA=PC=

2

a，
（1）求證：PD⊥平面ABCD；
（2）求證，直線PB與AC垂直；
（3）求二面角A-PB-D的大小；
（4）在這個(gè)四棱錐中放入一個(gè)球，求球的最大半徑；
（5）求四棱錐外接球的半徑．

Answer 1

分析：（1）要證PD⊥平面ABCD，只需證PD垂直于平面ABCD內(nèi)的兩條相交線，而所給已知量都是數(shù)，故可考慮勾股定理的逆定理．
（2）從圖形的特殊性，應(yīng)先考慮PB與AC是否垂直，若不垂直然后再轉(zhuǎn)化．
（3）由于AC⊥平面PBD，所以用垂線法作出二面角的平面角．
（4）當(dāng)所放的球與四棱錐各面都相切時(shí)球的半徑最大，即球心到各個(gè)面的距離均相等，聯(lián)想到用體積法求解．
（5）四棱錐的外接球的球心到P、A、B、C、D五的距離均為半徑，只要找出球心的位置即可，在Rt△PDB中，斜邊PB的中點(diǎn)為F，則PF=FB=FD不要證明FA=FC=FP即可．

解答：解：（1）證明：∵PD=a，AD=a，PA=

2

a，
∴PD²+DA²=PA²，同理∴∠PDA=90°．
即PD⊥DA，PD⊥DC，∵AO∩DC=D，∴PD⊥平面ABCD．
（2）連接BD，∵ABCD是正方形
∴BD⊥AC
∵PD⊥平面ABCD
∴PD⊥AC
∵PD∩BD=D
∴AC⊥平面PDB∵PB?平面PDB
∴AC⊥PB∴PB與AC所成的角為90°
（3）設(shè)AC∩BD=0，過(guò)A作AE⊥PB于E，連接OE
∵AO⊥平面PBD∴OE⊥PB
∴∠AEO為二面角A-PB-D的平面角
∵PD⊥平面ABCD，AD⊥AB
∴PA⊥AB在Rt△PDB中，PB=

PD2+BD2

=

3

a，
在Rt△PAB中，
∵S=

1

2

PA•AB=

1

2

•PB•AE
∴AE=

PA•AB

PB

=

2 a•a

3 a

=

2

3

a，AO=

1

2

AC=

2

2

a
在Rt△AOE中，sin∠AEO=

AO

AE

=

3

2

，∴∠AEO=60°∴二面角A-PB-D的大小為60．
（4）設(shè)此球半徑為R，最大的球應(yīng)與四棱錐各個(gè)面都相切，
設(shè)球心為S，連SA、SB、SC、SD、SP，則把此四棱錐分為五個(gè)棱錐，設(shè)它們的高均為RVP-ABCD=

1

3

•S?ABCD•PD=

1

3

•a•a•a=

1

3

a3S△PAD=S△PDC=

1

2

•a•a=

1

2

a2
S△PAB=S△PBC=

1

2

•a•

2

a=

2

2

a2
S_?ABCD=a²
∵V_P-ABCD=V_S-PDA+V_S-PDC+V_S-ABCD+V_S-PAB+V_S-PBC

1

3

a3=

1

3

R(S△PAD+S△PDC+S△PAB+S△PBC+S?ABCD)

1

3

a3=

1

3

R(

1

2

a2+

1

2

a2+

2

2

a2+

2

2

a2+a2)
∴

R

3

(2+

2

)a2=

1

3

a3∴R=

a

2+ 2

=

2- 2

2

a=(1-

2

2

)a
∴球的最大半徑為（1-

2

2

a）
（5）設(shè)PB的中點(diǎn)為F，∵在Rt△PDB中：FP=FB=FD
在Rt△PAB中：FA=FP=FB，在Rt△PBC中：FP=FB=FC
∴FP=FB=FA=FC=FD∴F為四棱錐外接球的球心
則FP為外接球的半徑∵FP=

1

2

PB∴FP=

3

2

a
∴四棱錐外接球的半徑為

3

2

a

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查棱錐的性質(zhì)以及內(nèi)切外接的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)．“內(nèi)切”和“外接”等有關(guān)問(wèn)題，首先要弄清幾何體之間的相互關(guān)系，主要是指特殊的點(diǎn)、線、面之間關(guān)系，然后把相關(guān)的元素放到這些關(guān)系中解決問(wèn)題，例如本例中球內(nèi)切于四棱錐中時(shí)，球與四棱錐的五個(gè)面相切，即球心到五個(gè)面的距離相等．求體積或運(yùn)用體和解決問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常使用等積變形，即把一個(gè)幾何體割補(bǔ)成其它幾個(gè)幾何體的和或差．