Question

B．選修4-2：矩陣與變換
設a＞0，b＞0，若矩陣A=

.

a 0 0 b

.

把圓C：x²+y²=1變換為橢圓E：

x2

4

+

y2

3

=1．
（1）求a，b的值；
（2）求矩陣A的逆矩陣A^-1．
C．選修4-4：坐標系與參數方程在極坐標系中，已知圓C：ρ=4cosθ被直線l：ρsin（θ-

π

6

）=a截得的弦長為2

3

，求實數a的值．

Answer 1

分析：B、（1）先確定矩陣A下，坐標之間的關系，再利用矩陣A=

a 0

把圓C：x²+y²=1變換為橢圓E：

x2

4

+

y2

3

=1，即可求得a，b的值；
（2）先求A的行列式的值，再計算A^-1；
C、化極坐標方程為直角坐標方程，求出圓心到直線的距離，利用勾股定理建立方程，即可求得結論．

解答：B．選修4-2：矩陣與變換
解：（1）設圓上點（m，n）在矩陣A下，變換為（x，y），則

a 0

=

x   y

∴m=

x

a

，n=

y

b

∵點（m，n）是圓上點，∴m²+n²=1，∴(

x

a

)2+(

y

b

)2=1
∵矩陣A=

a 0

把圓C：x²+y²=1變換為橢圓E：

x2

4

+

y2

3

=1．
∴a=2，b=

3

；
（2）A=

2 0

，|A|=2

3

，∴A^-1=

3 2 3 0

=

1 2 0

；
C．選修4-4：坐標系與參數方程
解：圓C：ρ=4cosθ的直角坐標方程為：x²+y²=4x，即（x-2）²+y²=4；
直線l：ρsin（θ-

π

6

）=a的直角坐標方程為：

3

x-y-a=0
∴圓心到直線的距離為

|2 3 -a|

2

∵圓C：ρ=4cosθ被直線l：ρsin（θ-

π

6

）=a截得的弦長為2

3

，
∴3+（

|2 3 -a|

2

）²=4
∴a=2

3

±2．

點評：本題考查矩陣與變換，考查坐標系與參數方程，考查直線與圓的位置關系，屬于中檔題．