【題目】對(duì)于
元集合
，若
元集合
滿足
，且
．則稱
是集合
的一種“等和劃分”（與
算是同一種劃分）．試確定集合
共有多少種等和劃分?
【答案】29
【解析】
解法1：不妨設(shè)
．由于當(dāng)集合
確定后，集合
便唯一確定，故只須考慮集合的個(gè)數(shù)．
設(shè)
為最大數(shù)．由
，知
．于是，
．故
中有奇數(shù)個(gè)奇數(shù)．
（1）若
中有五個(gè)奇數(shù)，因
中的六個(gè)奇數(shù)之和為36，而
，所以，
．此時(shí)，得到唯一的
．
（2）若中有三個(gè)奇數(shù)、兩個(gè)偶數(shù)，用
表示中這兩個(gè)偶數(shù)
之和，
表示中這三個(gè)奇數(shù)
之和，則
．于是，
．共得的24種情形．
①當(dāng)
時(shí)，
，可搭配成的3種情形；
②當(dāng)
時(shí)，
，可搭配成的3種情形；
③當(dāng)
時(shí)，
，可搭配成的6種情形；
④當(dāng)
時(shí)，
，可搭配成的6種情形；
⑤當(dāng)
時(shí)，
，可搭配成的4種情形；
⑥當(dāng)
時(shí)，
，可搭配成的1種情形；
⑦當(dāng)
時(shí)，
，可搭配成的1種情形；
（3）若中有一個(gè)奇數(shù)、四個(gè)偶數(shù)，由于中除12外，其余的五個(gè)偶數(shù)和為
，從中去掉一個(gè)偶數(shù)，補(bǔ)加一個(gè)奇數(shù)，使中五數(shù)之和為27，分別得到的4種情形
．綜上，集合有
種情形．即有29種等和劃分．
解法2：元素交換法．
顯然，
，恒設(shè)．
（1）首先注意極端情況的一種分劃：
．
顯然，數(shù)組
與
中，若有一組數(shù)全在中，則另一組數(shù)必全在中．
以下考慮10、11兩個(gè)數(shù)至少一個(gè)不在中的情況．
為此，考慮
中個(gè)數(shù)相同且和數(shù)相等的元素交換．
（2）
；
；
；
．
共得到8種對(duì)換．
（3）
；
；
；
；
．
共得到9種對(duì)換．
（4）
；
；
；
；
．
共得到11種對(duì)換．
每種對(duì)換都得到一種新的劃分．因此，總共得
種等和劃分．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】函數(shù)
（其中
）的部分圖象如圖所示，把函數(shù)
的圖像向右平移
個(gè)單位長度，再向下平移
個(gè)單位，得到函數(shù)
的圖像。
（1）當(dāng)
時(shí)，若方程
恰好有兩個(gè)不同的根
，求
的取值范圍及
的值；
（2）令
，若對(duì)任意
都有
恒成立，求的最大值
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D,E分別是AB，BB1的中點(diǎn).
（Ⅰ）證明： BC1//平面A1CD;
（Ⅱ）設(shè)AA1= AC=CB=2，AB=2
，求三棱錐C一A1DE的體積.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
（1）當(dāng)
時(shí)，求
的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)
時(shí)，
的圖象恒在
的圖象上方，求a的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知點(diǎn)A(0，－2)，橢圓E： 
(a>b>0)的離心率為
，F是橢圓E的右焦點(diǎn)，直線AF的斜率為
，O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求E的方程；
(2)設(shè)過點(diǎn)A的動(dòng)直線l與E相交于P，Q兩點(diǎn).當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，求l的方程.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
．
（Ⅰ）當(dāng)
時(shí)，求曲線
在點(diǎn)
處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若對(duì)任意的
，都有
成立，求a的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知邊長為4的正三角形ABC的邊AB、AC上分別有兩點(diǎn)D、E，DE//BC且DE=3，現(xiàn)將△ABC沿DE折成直二面角A﹣DE﹣B，在空間中取一點(diǎn)F使得ADBF為平行四邊形，連接AC、FC得六面體ABCEDF，G是BC邊上動(dòng)點(diǎn).
（1）若EG//平面ACF，求CG的長；
（2）若G為BC中點(diǎn)，求二面角G﹣AE﹣D的平面角的余弦值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】有一個(gè)倒圓錐形容器，它的軸截面是一個(gè)正三角形，在容器內(nèi)放一個(gè)半徑為
的鐵球，并注入水，使水面與球正好相切，然后將球取出，則這時(shí)容器中水的深度為___________．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】將
個(gè)數(shù)
，
，…，
的連乘積
記為
，將個(gè)數(shù)，，…，的和
記為
．（
）
（1）若數(shù)列
滿足
，
，，設(shè)
，
，求
；
（2）用
表示不超過
的最大整數(shù)，例如
，
，
．若數(shù)列滿足，，，求
的值；
（3）設(shè)定義在正整數(shù)集
上的函數(shù)
滿足：當(dāng)
（
）時(shí)，
，問是否存在正整數(shù)，使得
？若存在，求出的值；若不存在，說明理由（已知
）．
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