Question

如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P為線段AD₁上的點，且滿足

D1P

=λ

PA

(λ＞0)．
（Ⅰ）當λ=1時，求證：平面ABC₁D₁⊥平面PDB；
（Ⅱ）試證無論λ為何值，三棱錐D-PBC₁的體積恒為定值；
（Ⅲ）求異面直線C₁P與CB₁所成的角的余弦值．

Answer 1

分析：（I）如圖，以點D為坐標原點，建立如圖所示的坐標系．當λ=1時，分別求出平面PDB的法向量及平面ABC₁D₁的法向量，然后代入向量數量積公式，可得兩個平面的法向量的數量積為0，由此可得平面ABC₁D₁⊥平面PDB；
（Ⅱ）根據正方體的幾何特征，我們易得三角形PBC₁的面積為定值，D到平面PBC₁的距離為定值，則三棱錐D-BPC₁的體積為定值．
（III）分別確定異面直線C₁P與CB₁的方向向量（含參數λ），代入數量積公式后，易得兩個方向向量的數量積為0，即異面直線C₁P與CB₁所成的角的余弦值恒為0．

解答：證明：如圖，以點D為坐標原點，建立如圖所示的坐標系．
（Ⅰ）當λ=1時，即點P為線段AD₁的中點，則P(

1

2

，0，

1

2

)，又D（0，0，0）、B（1，1，0）
∴

PD

=(-

1

2

，0，-

1

2

)，

PB

=(

1

2

，1，-

1

2

)，設平面PDB的法向量為

n

=(x，y，z)，…（1分）
則

PD • n = 0 PB • n = 0

，即

- 1 2 x+0- 1 2 z=0 1 2 x+y- 1 2 z=0

，令y=1，解得

n

=(-1，1，1)，…（2分）
又∵點P為線段AD₁的中點，∴DP⊥AD₁，∴DP⊥平面ABC₁D₁，
∴平面ABC₁D₁的法向量為

PD

=(-

1

2

，0，-

1

2

)，…（3分）
∵

PD

•

n

=

1

2

+0-

1

2

=0，
∴平面ABC₁D₁⊥平面PDB，…（4分）
（Ⅱ）∵AD₁∥BC₁，P為線段AD₁上的點，
∴三角形PBC₁的面積為定值，即S△PBC1=

1

2

×

2

×1=

2

2

，…（6分）
又∵CD∥平面ABC₁D₁，
∴點D到平面PBC₁的距離為定值，即h=

2

2

，…（8分）
∴三棱錐D-BPC₁的體積為定值，即VD-PBC1=

1

3

•S△PBC1•h=

1

3

×

2

2

×

2

2

=

1

6

．
也即無論λ為何值，三棱錐D-PBC₁的體積恒為定值

1

6

；…（10分）
解：（Ⅲ）∵

D1P

=λ

PA

(λ＞0)，∴P(

λ

1+λ

，0，

1

1+λ

)，…（11分）
又C₁（0，1，1）、C（0，1，0）、B₁（1，1，1），
∴

C1P

=(

λ

1+λ

，-1，

-λ

1+λ

)，

CB1

=(1，0，1)，…（12分）
∵

C1P

•

CB1

=

λ

1+λ

+0+

-λ

1+λ

=0…（13分）
∴不管λ取值多少，都有C₁P⊥CB₁，即異面直線C₁P與CB₁所成的角的余弦值為0．…（14分）

點評：本題考查的知識點是異面直線及其所成的角，棱錐的體積，平面與平面垂直的判定，（1）（3）的關鍵是建立空間坐標系，將面面夾角及線線夾角轉化為向量夾角問題，（2）的關鍵是根據正方體的幾何特征得到線線平行及線面平行，進而得到點到線，點到面的距離為定值．