Question

已知命題p：?x∈R，使得k+|x-2|≥|x-1|；命題q：?x，y∈R⁺且x+y=1，有xyk≤x+4y．若p∧q為真，則實數k的取值范圍是（　　）

A．[-1，9]

B．[1，9]

C．[-1，8]

D．[1，8]

Answer 1

分析：本題考查復合命題，解決的方法是：將k+|x-2|≥|x-1|和xyk≤x+4y分別變形后求出k的取值范圍，最后求交集．

解答：解：命題p：?x∈R，使得k+|x-2|≥|x-1|成立，
∴有：?x∈R，k≥|x-1|-|x-2|成立，
∴只須：k大于等于（|x-1|-|x-2|）的最小值即可，
而由絕對值的幾何意義可知|x-1|-|x-2|表示數軸上的點到1和2的距離之差，
由上圖分析得：當實數x在數軸上移動時有：-1≤|x-1|-|x-2|≤1，
即：k≥-1．
命題q：?x，y∈R⁺且x+y=1，有xyk≤x+4y，
∴有：k≤

x+4y

xy

對?x，y∈R⁺且滿足x+y=1的實數x、y成立，
∴只須：k小于等于

x+4y

xy

的最小值即可，
而

x+4y

xy

=

x

xy

+

4y

xy

=

1

y

+

4

x

=

x+y

y

+

4(x+y)

x

=

x

y

 +1+4+

4y

x

=5+

x

y

+

4y

x

≥5+ 2

x y • 4y x

= 9，
即：k≤9．
又∵p∧q為真，
∴命題p和命題q均為真命題，
∴應有

k≥-1 k≤9

，解得：-1≤k≤9，即：[-1，9]．
故選A．

點評：本題以復合命題的真假為載體，主要考查絕對值的幾何意義及不等式求函數的最值的掌握情況，要做到熟練掌握．