Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，B₁C是正方體的一條面對角線．現有下列命題：
①過B₁C且與BD平行的平面有且只有一個；
②過B₁C且與BD垂直的平面有且只有一個；
③B₁C與平面A₁C₁CA所成的角等于30°；
④與B₁C所成角為60°的面對角線共有8條．
上述命題中，正確的是

3

．（填上所有正確命題的序號）

Answer 1

分析：由正方體的幾何特征，我們根據線面平行的判定方法及幾何特征，可以判斷①的真假；根據線面垂直的判定方法及幾何牲，可以判斷②的真假；根據線面夾角的定義及其求法，可以判斷③的真假；根據異面直線及其夾角公式，可以判斷出④的真假，進而得到答案．

解答：解：正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，B₁C是正方體的一條面對角線．
則過B₁C且與BD平行的平面有且只有B₁CD₁一個，故①正確；
∵B₁C與BD的夾角為60°，故過B₁C且與BD垂直的平面不存在，故②錯誤；
B₁C與平面A₁C₁CA所成的角等于30°，故③正確；
與B₁C所成角為60°的面對角線共有8條，故④正確．
故答案為：3

點評：本題考查的知識點是棱柱的結構特征，線面平行，線面垂直的判定，線面夾角，異面直線的夾角，熟練掌握正方體的幾何特征是解答本題的關鍵．