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f(n)=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
,是否存在g(n),使等式f(1)+f(2)+…+f(n-1)=g(n)[f(n)-1]對n≥2的一切自然數都成立,并證明你的結論.
由于f(1)=1,f(2)=1+
1
2
,f(3)=1+
1
2
+
1
3
,…,f(n)=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n

所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n-1)
=(n-1)×1+(n-2)×
1
2
+(n-3)×
1
3
+…+[n-(n-2)]×
1
n-2
+[n-(n-1)]×
1
n-1

=n[1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n-1
]-(n-1)×1=n(
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n
),
而g(n)[f(n)-1]=g(n)[(1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
)-1]=g(n)(
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n
),
故由等式f(1)+f(2)+…+f(n-1)=g(n)[f(n)-1],
可得n(
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n
)=g(n)(
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n
),
解得g(n)=n,
故存在g(n)滿足條件,且通項公式為 g(n)=n.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

已知數列{an}中,Sn是它的前n項和,并且Sn+1=4an+2(n=1,2,…),a1=1.
(1)設bn=an+1-2an(n=1,2,…),求證:數列{bn}是等比數列;
(2)設cn=(n=1,2,…),求證:數列{cn}是等差數列;
(3)求數列{an}的通項公式及前n項和公式.

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

求證:(用兩種方法證明).

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

若不等式
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
3n+1
a
24
對一切正整數n都成立,
(1)猜想正整數a的最大值,
(2)并用數學歸納法證明你的猜想.

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:單選題

用數學歸納法證明1+q+q2+…+qn+1=
qn+2-1
q-1
(q≠1)
.在驗證n=1等式成立時,等式的左邊的式子是(  )
A.1B.1+qC.1+q+q2D.1+q+q2+q3

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:單選題

對任意復數、,定義,其中的共軛復數.對任意復數、、,有如下四個命題:
;

;
.
則真命題的個數是(   )
A.B.C.D.

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:單選題

若復數i(R)是純虛數,則實數等于(    )
A.0B.1C.2D.1或2

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

已知,求證:

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:填空題

時,有
時,有
時,有
時,有
時,你能得到的結論是:                                  

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同步練習冊答案
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